奇数项的二项式系数之和

2022年，我在某城市听数学讲座。讲座中，讲师提到了奇数项二项式系数之和的概念。我当时很困惑。什么是二项式系数，为什么项数是奇数？
后来我意识到，啊，这就是二项式定理。我在高中时就知道了这一点。二项式定理C(n,k)表示n个不同元素中k个元素的组合数。
然后老师说奇数项的二项式系数之和其实就是(1+1)^n中所有奇数项的系数之和。我想这可能有点困难。
他说这个和等于2的n-1次方。我当时就震惊了。为什么我以前没有见过这个公式？后来查资料才发现这个结论很早以前就被数学家发现了。
那时我就意识到证明这个公式需要多少数学知识。也许我有偏见，但我认为这个结论真的很棒。